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El problema a antigua localidad de Königsberg —

actual Kaliningrado (Rusia)— es una de las
de los puentes Ltijo que mantuvo ocupados a todos sus
ciudades más famosas de las matemáticas.
Su peculiar geografía dio pie a un acer-
habitantes. El río Pregolia dividía la urbe en cuatro
de Königsberg regiones que estaban conectadas entre sí por siete
puentes. La pregunta del millón era: ¿Se puede dar
un paseo por todas las islas en el que crucemos solo
una vez por cada uno de los puentes? Piénsalo un
n Diego de la Encina Rodríguez momento con el mapa:

¿Tiras la toalla? Deberías, es imposible, tene- Para seguir las normas del reto, una vez que lle- · Cuando todos los vértices son de
mos que cruzar alguno de los puentes al menos gamos a una región, tenemos que salir de ella grado par. De este modo, podemos empezar y
dos veces. El célebre matemático Leonhard por un puente diferente. Por lo que el grado de terminar en el mismo sitio y tendríamos lo que
Euler, al que se le considera el inventor de los los vértices de tránsito tienen que ser par (2, 4, se conoce como ciclo euleriano.
sudokus, intentó averiguar por qué ocurría esto. 6, 8…). Las únicas excepciones son las ubicacio-
Para ello, creó un nuevo tipo de geometría: la nes de comienzo y final de recorrido, que pue-
geometría de posición, ahora conocida como den tener grado impar.
teoría de grafos. Usando la teoría de grafos
los cuatro terrenos estarían representados por En Königsberg, todos los vértices tienen grado
círculos y los puentes por líneas. Este dibujo impar, así que da igual el camino que escojamos
simplificado se llama grafo y permite calcular que siempre cruzaremos un puente dos veces.
fácilmente el grado de cada vértice, es decir, el Euler formuló una teoría general que se aplica
número de puentes que conecta cada masa de a todos los grafos de dos o más vértices. Pasar
tierra. por todas las aristas una vez sólo es posible en Entonces, volvamos al acertijo inicial, ¿cómo
dos casos: hacemos un camino euleriano en Königsberg?
Tendríamos que quitar un puente cualquiera.
· Cuando hay exactamente dos vérti- Lo curioso es que el ejército soviético, duran-
ces de grado impar —el de salida y el de llega- te la II Guerra Mundial, bombardeó la ciudad y
da— y todos los demás son pares. A esto se le destruyó dos pasarelas. Aunque esa no era su
denomina camino euleriano. intención, hicieron posible un camino euleriano,
pero no un ciclo.
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Agradecemos a los catedráticos de Estadística e Investigación
Operativa Mercedes Landete Ruiz y Joaquín Sánchez Soriano
su colaboración en esta propuesta. Te invitamos a visitar El jar-
dín matemático del campus de Elche de la UMH, donde pue-
Simplificación de Euler para explicar el problema de los puentes des visitar la ‘Damatemática’ e intentar resolver el problema
de Königsberg. En la teoría de grafos, los círculos se denominan como si caminaras por Königsberg y sus siete puentes.
vértices o nodos y las líneas, aristas.